Как распознать NP-полную задачу?

NP-полная задача должна удовлетворять двум условиям:

1. Она принадлежит классу NP (недетерминированно полиномиальное время). Это означает, что решение предоставленного экземпляра задачи можно проверить за полиномиальное время относительно размера входных данных.

2. Любая другая задача из класса NP может быть сведена к данной задаче за полиномиальное время. Такой редукцией демонстрируется, что задача является "как минимум такой же** сложной, как и любая другая задача в NP.

На практике, для распознавания NP-полной задачи часто используют следующие подходы:

• Сведение к известной NP-полной задаче: Если можно показать, что уже известная NP-полная задача сводится к рассматриваемой задаче за полиномиальное время, то рассматриваемая задача тоже является NP-полной (при условии, что она находится в NP).
• Структурное сходство: Многие NP-полные задачи имеют схожие структурные элементы: поиск подграфов, разбиение множества, упаковка элементов с ограничениями, удовлетворение булевых формул.
• Трудность принятия решений: Если задача кажется трудной для быстрого нахождения оптимального или любого решения, но проверка предложенного решения относительно проста, это может быть признаком принадлежности к классу NP. Если к тому же она является "настолько же трудной", как и известные NP-полные, то она NP-полна.

Примеры известных NP-полных задач:

• Задача о рюкзаке (Knapsack Problem)
• Задача о коммивояжере (Traveling Salesperson Problem - TSP)
• Задача о выполнимости булевых формул (Satisfiability Problem - SAT)
• Задача о вершинном покрытии (Vertex Cover)
• Задача о клике (Clique Problem)

Распознавание NP-полноты часто требует глубокого понимания задачи и умения проводить математические доказательства сведений.