Дана рекуррентная последовательность x_n = A * x_{n-1}, где A — матрица, x — вектор, x_0 — произвольный. К чему стремится последовательность при n → ∞?

Последовательность ( x_n = A x_{n-1} ), где ( A ) — матрица, при ( n \to , \infty ) стремится к собственному вектору, соответствующему собственному значению матрицы ( A ) с наибольшим по модулю значением (главному собственному значению), при условии, что такое значение уникально и доминирует над остальными.

Если разложить ( x_0 ) по базису собственных векторов ( A ), то с ростом ( n ) компоненты, соответствующие собственным значениям с меньшим модулем, затухают, а компонентa, связанная с главным собственным значением, доминирует. В итоге ( x_n ) направляется вдоль главного собственного вектора и масштабируется на ( \lambda_{max}^n ).

Если ( |\lambda_{max}| < 1 ), последовательность стремится к нулю. Если ( |\lambda_{max}| = 1 ), последовательность может устремляться к собственному вектору или колебаться. Если ( |\lambda_{max}| > 1 ), последовательность растёт по модулю в направлении главного собственного вектора.