Почему собственные значения должны быть ненулевыми для существования обратной матрицы?

Обратная матрица существует только для невырожденных матриц, то есть таких, у которых определитель не равен нулю. Собственные значения матрицы связаны с её определителем: определитель равен произведению всех собственных значений.

Если хотя бы одно собственное значение равно нулю, то определитель будет равен нулю, и матрица не будет обратимой.

Интуитивно:

• Собственные значения показывают, как матрица растягивает или сжимает пространство вдоль определённых направлений.
• Нулевое собственное значение означает, что матрица сжимает пространство вдоль некоторого направления до нуля, то есть теряет информацию и не может быть обращена.

Таким образом, ненулевые собственные значения гарантируют, что матрица сохраняет размерность и имеет обратную.