Да, будет.
При одинаковом hashCode() все элементы будут попадать в одну "корзину" (bucket) в HashMap. Это приведет к вырождению HashMap в связанный список (или дерево, если элементов достаточно много и используется Java 8+ с TreeNode), что значительно ухудшит производительность операций put(), get(), remove() до O(n) вместо O(1) в среднем случае.
Таким образом, HashMap будет корректно функционировать, но потеряет свое главное преимущество в скорости из-за коллизий хешей. Для различения объектов с одинаковым хешем используется метод equals().
java