Как производная связана с площадью?

Производная функции в точке показывает скорость изменения функции в этой точке. Связь с площадью проявляется через интеграл: если представить график функции y = f(x), то площадь под графиком на интервале [a, b] равна интегралу ( \int_a^b f(x) dx ).

Теорема Ньютона-Лейбница связывает производную и площадь: если F(x) — первообразная функции f(x), то

[ F'(x) = f(x) ]

и

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

То есть производная функции — это мгновенная скорость изменения площади под графиком функции f(x). Если представить площадь под графиком как функцию от верхнего предела интегрирования, то её производная в точке равна значению функции f(x) в этой точке.