Как работает градиентный спуск для поиска параметров модели?

Градиентный спуск — это итеративный алгоритм оптимизации, используемый для поиска параметров модели, минимизирующих функцию потерь. Идея в том, чтобы шаг за шагом корректировать параметры в направлении, противоположном градиенту функции потерь, так как градиент указывает направление наибольшего возрастания.

Процесс выглядит так:

1. Инициализируем параметры модели случайными значениями.

2. Вычисляем градиент функции потерь по параметрам — вектор частных производных.

3. Обновляем параметры, двигаясь в сторону уменьшения функции потерь:

   ( \theta := \theta - \alpha \nabla L(\theta) )

   где ( \alpha ) — скорость обучения (learning rate).

4. Повторяем шаги 2-3 до сходимости или достижения максимального числа итераций.

Пример на Python с использованием numpy:

import numpy as np

def gradient_descent(x, y, theta, learning_rate, iterations):
    m = len(y)
    for _ in range(iterations):
        predictions = x.dot(theta)
        errors = predictions - y
        gradient = (1/m) * x.T.dot(errors)
        theta = theta - learning_rate * gradient
    return theta

# x — матрица признаков, y — целевая переменная, theta — параметры модели

Таким образом, градиентный спуск позволяет найти оптимальные параметры, минимизируя ошибку модели.