В качестве ключей в HashMap можно использовать любые объекты, которые корректно реализуют методы hashCode() и equals(). Рассмотрим перечисленные варианты:

Массивы — использовать можно, но не рекомендуется, так как у массивов не переопределён hashCode() и equals(), они наследуются от Object, где сравнение по ссылке. Это может привести к неожиданному поведению при поиске ключей.
Атомики (AtomicBoolean, AtomicInteger и т.п.) — можно использовать, так как они переопределяют hashCode() и equals() корректно.
Примитивы — напрямую использовать нельзя, так как HashMap работает с объектами. Но можно использовать их обёртки (Integer, Boolean и т.п.).
Ссылочные типы — можно использовать, при условии правильной реализации hashCode() и equals().

Итого, нельзя использовать примитивы напрямую (нужно использовать обёртки), а массивы технически можно, но это плохая практика из-за отсутствия корректной реализации hashCode() и equals().

Вопрос 1. Какие типы данных не получится использовать в качестве ключей HashMap? - Массивы - Атомики (AtomicBoolean, AtomicInteger и тп) - Примитивы - Ссылочные