В C# для типа string оператор == уже переопределён в стандартной библиотеке, и он сравнивает содержимое строк, а не ссылки на объекты. Если же вы создаёте свой собственный тип, и хотите переопределить оператор ==, то нужно реализовать статический метод operator == и обычно также operator !=.

Пример переопределения для собственного типа:

public class MyString
{
    private string _value;

    public MyString(string value) => _value = value;

    public static bool operator ==(MyString a, MyString b)
    {
        if (ReferenceEquals(a, b)) return true;
        if (a is null || b is null) return false;
        return a._value == b._value;
    }

    public static bool operator !=(MyString a, MyString b) => !(a == b);

    public override bool Equals(object obj) => this == obj as MyString;

    public override int GetHashCode() => _value?.GetHashCode() ?? 0;
}

Для встроенного string переопределение не требуется, достаточно использовать ==, который сравнивает содержимое.

Каким образом происходит переопределение оператора равенства (==) для типа String в вашем коде?