Wie hängt die Ableitung mit der Fläche zusammen?

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt zeigt die Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt. Die Verbindung zur Fläche zeigt sich durch das Integral: Wenn man den Graphen der Funktion y = f(x) darstellt, ist die Fläche unter dem Graphen im Intervall [a, b] gleich dem Integral ( \int_a^b f(x) dx ).

Der Satz von Newton-Leibniz verbindet die Ableitung und die Fläche: Wenn F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x) ist, dann gilt

[ F'(x) = f(x) ]

und

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Das heißt, die Ableitung der Funktion ist die momentane Änderungsrate der Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x). Wenn man die Fläche unter dem Graphen als Funktion des oberen Integrationsgrenzes betrachtet, ist ihre Ableitung an einem Punkt gleich dem Wert der Funktion f(x) an dieser Stelle.