Оценка сложности алгоритма часто проводится путем анализа количества базовых операций, выполняемых алгоритмом, в зависимости от размера входных данных (n). Асимптотическая сложность описывает поведение алгоритма при увеличении n до бесконечности, игнорируя постоянные множители и младшие члены. Для определения асимптотики используют нотацию "O большое" (O-notation).
Основные шаги:
- Выделить базовую операцию: Определить операцию, которая выполняется наиболее часто и ее количество пропорционально общему времени выполнения алгоритма. Это может быть сравнение, присваивание, арифметическая операция и т.д.
- Подсчитать количество базовых операций: Выразить количество базовых операций как функцию от размера входных данных n.
- Определить асимптотику: Из полученной функции оставить только старший член и отбросить постоянные множители. Это и будет асимптотическая сложность алгоритма в нотации O-notation.
Часто встречающиеся классы асимптотической сложности:
- O(1) - постоянная сложность (не зависит от n)
- O(log n) - логарифмическая сложность
- O(n) - линейная сложность
- O(n log n) - линейно-логарифмическая сложность
- O(n²) - квадратичная сложность
- O(2ⁿ) - экспоненциальная сложность
Примеры:
- Поиск элемента в неотсортированном массиве: В худшем случае требуется просмотреть все n элементов. Базовая операция: сравнение. Количество операций: n. Асимптотика: O(n).
- Поиск элемента в отсортированном массиве (бинарный поиск): На каждом шаге размер области поиска уменьшается вдвое. Базовая операция: сравнение. Количество операций: log₂ n. Асимптотика: O(log n).
- Пузырьковая сортировка: Требуется n-1 проходов, в каждом из которых до n-1 сравнений. Базовая операция: сравнение и обмен. Количество операций: примерно n²/2. Асимптотика: O(n²).
При анализе также учитываются худший, средний и лучший случаи выполнения алгоритма, хотя чаще всего оценивают худший случай.
python
python