Как провести оценку сложности алгоритма и определить его асимптотику?

Оценка сложности алгоритма часто проводится путем анализа количества базовых операций, выполняемых алгоритмом, в зависимости от размера входных данных (n). Асимптотическая сложность описывает поведение алгоритма при увеличении n до бесконечности, игнорируя постоянные множители и младшие члены. Для определения асимптотики используют нотацию "O большое" (O-notation).

Основные шаги:

1. Выделить базовую операцию: Определить операцию, которая выполняется наиболее часто и ее количество пропорционально общему времени выполнения алгоритма. Это может быть сравнение, присваивание, арифметическая операция и т.д.
2. Подсчитать количество базовых операций: Выразить количество базовых операций как функцию от размера входных данных n.
3. Определить асимптотику: Из полученной функции оставить только старший член и отбросить постоянные множители. Это и будет асимптотическая сложность алгоритма в нотации O-notation.

Часто встречающиеся классы асимптотической сложности:

• O(1) - постоянная сложность (не зависит от n)
• O(log n) - логарифмическая сложность
• O(n) - линейная сложность
• O(n log n) - линейно-логарифмическая сложность
• O(n²) - квадратичная сложность
• O(2ⁿ) - экспоненциальная сложность

Примеры:

• Поиск элемента в неотсортированном массиве: В худшем случае требуется просмотреть все n элементов. Базовая операция: сравнение. Количество операций: n. Асимптотика: O(n).
• Поиск элемента в отсортированном массиве (бинарный поиск): На каждом шаге размер области поиска уменьшается вдвое. Базовая операция: сравнение. Количество операций: log₂ n. Асимптотика: O(log n).
• Пузырьковая сортировка: Требуется n-1 проходов, в каждом из которых до n-1 сравнений. Базовая операция: сравнение и обмен. Количество операций: примерно n²/2. Асимптотика: O(n²).

При анализе также учитываются худший, средний и лучший случаи выполнения алгоритма, хотя чаще всего оценивают худший случай.

# Пример: подсчет количества операций в простом цикле
def simple_loop(n):
  count = 0 # 1 операция
  for i in range(n): # Цикл выполняется n раз
    count += 1 # 1 операция внутри цикла
  return count

# Общее количество операций: 1 (инициализация) + n * 1 (операции в цикле) = 1 + n
# Асимптотика: O(n)

# Пример: вложенные циклы
def nested_loops(n):
  count = 0 # 1 операция
  for i in range(n): # Внешний цикл n раз
    for j in range(n): # Внутренний цикл n раз
      count += 1 # 1 операция внутри внутреннего цикла
  return count

# Общее количество операций: 1 (инициализация) + n * (n * 1) = 1 + n²
# Асимптотика: O(n²)