Как произвести оценку сложности алгоритма или определить асимптотику?

Для оценки сложности алгоритма используют асимптотический анализ, который позволяет описать эффективность алгоритма в зависимости от размера входных данных ($n$). Основные шаги:

1. Определение базовых операций: Выделяются операции, время выполнения которых существенно зависит от $n$ (например, сравнения, присваивания, арифметические операции).
2. Подсчет числа операций: Вычисляется количество базовых операций в зависимости от $n$. Это может быть точная формула или оценка.
3. Определение асимптотического класса: Используются обозначения Большого О ($O$), Омега ($\Omega$) и Тета ($\Theta$) для описания верхнего, нижнего и точного асимптотического поведения соответственно.

• $O(f(n))$: Алгоритм выполняется за время, не превышающее константу, умноженную на $f(n)$, при больших $n$. Используется для описания наихудшего случая.
• $\Omega(f(n))$: Алгоритм выполняется за время, не меньше константы, умноженной на $f(n)$, при больших $n$. Используется для описания наилучшего случая.
• $\Theta(f(n))$: Алгоритм выполняется за время, пропорциональное $f(n)$, при больших $n$. Используется для описания среднего случая или когда наилучший и наихудший случаи имеют одинаковый асимптотический порядок.

Наиболее часто используется Большое $O$ для описания верхней границы времени выполнения, что важно для понимания масштабируемости алгоритма в наихудшем сценарии.

4. Пренебрежение константами и младшими членами: При определении асимптотики игнорируются константные множители и члены более низкого порядка, так как при больших $n$ доминирует функция с наибольшим показателем. Например, для $3n^2 + 5n + 10$, асимптотика будет $O(n^2)$.

Типичные асимптотические классы (в порядке возрастания сложности):

• $O(1)$: Константная сложность (время выполнения не зависит от $n$).
• $O(\log n)$: Логарифмическая сложность (время выполнения растет очень медленно с ростом $n$, характерно для алгоритмов бинарного поиска).
• $O(n)$: Линейная сложность (время выполнения прямо пропорционально $n$, характерно для простого перебора).
• $O(n \log n)$: Линейно-логарифмическая сложность (характерно для эффективных алгоритмов сортировки, таких как Quick Sort или Merge Sort).
• $O(n^2)$: Квадратичная сложность (время выполнения растет с квадратом $n$, характерно для простых алгоритмов сортировки, таких как Bubble Sort).
• $O(n^c)$ (для $c > 1$): Полиномиальная сложность.
• $O(c^n)$ (для $c > 1$): Экспоненциальная сложность (вр