Что такое динамическое программирование?

Динамическое программирование (ДП) — это метод решения сложных вычислительных задач путем разбиения их на более простые подзадачи. Результаты решения этих подзадач сохраняются (мемоизация или табуляция) во избежание повторных вычислений. Это позволяет значительно оптимизировать производительность по сравнению с наивными рекурсивными решениями.

Основные принципы:

• Перекрывающиеся подзадачи: Одна и та же подзадача должна решаться многократно при решении исходной задачи.
• Оптимальная подструктура: Оптимальное решение исходной задачи может быть получено из оптимальных решений ее подзадач.

Два основных подхода:

1. Нисходящий (сверху вниз): Применяется рекурсия с мемоизацией. Задача разбивается на подзадачи, и их решения запоминаются в словаре или массиве.
2. Восходящий (снизу вверх): Используется итеративный подход с табуляцией. Решения подзадач вычисляются в определенном порядке (обычно от меньших к большим) и сохраняются в таблице.

Пример. Задача о числе Фибоначчи:

Наивное рекурсивное решение (без ДП):

python

Решение с ДП (мемоизация):

python

Решение с ДП (табуляция):

python

Различия между мемоизацией и табуляцией:

ДП применяется в различных областях, включая:

• Оптимизация: задача о рюкзаке, задача коммивояжера.
• Биоинформатика: выравнивание последовательностей ДНК.
• Компьютерное зрение: распознавание образов.
• Финансы: планирование инвестиций.