Görev: 100 madeni para, bunlardan biri sahte (her iki tarafı kartal). Atışta kartal çıktıysa, paranın sahte olma olasılığı nedir?

Tanımlayalım:

• Toplam madeni para: 100
• Sahte para: 1 (her iki tarafı da yazı)
• Dürüst madeni paralar: 99

Atışta tura geldi. Paranın sahte olma olasılığını bulmamız gerekiyor.

Olayları tanımlayalım:

• H — sahte para
• F — dürüst para
• E — tura geldi

Koşuldan:

• P(H) = 1/100
• P(F) = 99/100

Atışta tura gelme olasılığı:

• P(E|H) = 1 (sahte para her zaman tura gelir)
• P(E|F) = 0.5 (dürüst para %50 ihtimalle tura gelir)

Bayes formülü ile:

[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|F) \cdot P(F)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + 0.5 \cdot \frac{99}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{100} + \frac{49.5}{100}} = \frac{1}{1 + 49.5} = \frac{1}{50.5} \approx 0.0198 ]

Cevap: Tura gelen bir paranın sahte olma olasılığı yaklaşık 1.98%.