Cum este legată derivata de suprafață?

Derivata unei funcții într-un punct indică viteza de schimbare a funcției în acel punct. Legătura cu aria se manifestă prin integrală: dacă reprezentăm graficul funcției y = f(x), aria de sub grafic pe intervalul [a, b] este egală cu ( \int_a^b f(x) dx ).

Teorema lui Newton-Leibniz leagă derivata și aria: dacă F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci

[ F'(x) = f(x) ]

și

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Cu alte cuvinte, derivata funcției este viteza instantanee de schimbare a ariei de sub graficul funcției f(x). Dacă reprezentăm aria de sub grafic ca o funcție a limitei superioare de integrare, atunci derivata sa în punct este egală cu valoarea funcției f(x) în acel punct.