Como fazer a transição para a próxima tela usando UINavigationController?

A transição para a próxima tela com UINavigationController é feita pelo método pushViewController(_:animated:).

Exemplo em Swift:

let nextViewController = NextViewController()
navigationController?.pushViewController(nextViewController, animated: true)

Isto coloca o novo controlador na pilha de navegação e exibe-o com uma animação de transição. Para voltar, usa-se o método popViewController(animated:).