Como é que a derivada está relacionada com a área?

A derivada de uma função num ponto indica a taxa de variação da função nesse ponto. A relação com a área manifesta-se através da integral: se representarmos o gráfico da função y = f(x), a área sob o gráfico no intervalo [a, b] é igual à integral ( \int_a^b f(x) dx ).

O teorema de Newton-Leibniz relaciona a derivada e a área: se F(x) é uma antiderivada da função f(x), então

[ F'(x) = f(x) ]

e

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Ou seja, a derivada da função é a velocidade instantânea de mudança da área sob o gráfico da função f(x). Se representarmos a área sob o gráfico como uma função do limite superior de integração, então sua derivada em um ponto é igual ao valor da função f(x) nesse ponto.