Qual é a diferença entre os métodos private e protected?

Os membros private de uma classe estão acessíveis apenas de dentro da própria classe.

Os membros protected de uma classe estão acessíveis de dentro da própria classe e de classes derivadas.

public class BaseClass
{
    private int _privateField; // Acesso apenas na BaseClass
    protected int _protectedField; // Acesso na BaseClass e na DerivedClass

    public void BaseMethod()
    {
        _privateField = 1; // OK
        _protectedField = 2; // OK
    }
}

public class DerivedClass : BaseClass
{
    public void DerivedMethod()
    {
        // _privateField = 3; // Erro de compilação: não acessível
        _protectedField = 4; // OK
    }
}