Hoe is de afgeleide gerelateerd aan het gebied?

De afgeleide van een functie in een punt geeft de snelheid van verandering van de functie op dat punt aan. De relatie met het gebied wordt duidelijk via de integraal: als we de grafiek van de functie y = f(x) voorstellen, dan is het gebied onder de grafiek op het interval [a, b] gelijk aan de integraal ( \int_a^b f(x) dx ).

De Newton-Leibniz-stelling verbindt de afgeleide en het gebied: als F(x) een primitieve van de functie f(x) is, dan geldt

[ F'(x) = f(x) ]

en

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Met andere woorden, de afgeleide van de functie is de onmiddellijke snelheid van verandering van het gebied onder de grafiek van de functie f(x). Als we het gebied onder de grafiek als een functie van de bovengrens van de integraal beschouwen, dan is de afgeleide ervan in een punt gelijk aan de waarde van de functie f(x) op dat punt.