Problème : il y a 100 pièces, dont une est truquée (les deux côtés sont face). Lorsqu'on lance la pièce et qu'elle tombe sur face — trouvez la probabilité que la pièce truquée.

Définissons:

• Total de pièces: 100
• Pièce malhonnête: 1 (face des deux côtés)
• Pièces honnêtes: 99

Lors du lancer, la pièce a montré face. Il faut trouver la probabilité que la pièce soit malhonnête.

Définissons les événements:

• H — pièce malhonnête
• F — pièce honnête
• E — face obtenue

D'après la condition:

• P(H) = 1/100
• P(F) = 99/100

La probabilité d'obtenir face lors du lancer:

• P(E|H) = 1 (la pièce malhonnête donne toujours face)
• P(E|F) = 0.5 (la pièce honnête donne face avec une probabilité de 0.5)

Selon la formule de Bayes:

[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|F) \cdot P(F)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + 0.5 \cdot \frac{99}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{100} + \frac{49.5}{100}} = \frac{1}{1 + 49.5} = \frac{1}{50.5} \approx 0.0198 ]

Réponse : La probabilité que la pièce soit malhonnête étant donné qu'elle a montré face, est d'environ 1.98%.