Comment la dérivée est-elle liée à la surface?

La dérivée d'une fonction en un point indique la vitesse de changement de cette fonction à ce point. La relation avec l'aire se manifeste à travers l'intégrale : si l'on représente le graphique de la fonction y = f(x), l'aire sous le graphique sur l'intervalle [a, b] est égale à l'intégrale ( \int_a^b f(x) dx ).

Le théorème de Newton-Leibniz relie la dérivée et l'aire : si F(x) est une primitive de la fonction f(x), alors

[ F'(x) = f(x) ]

et

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Autrement dit, la dérivée de la fonction est la vitesse instantanée de changement de l'aire sous le graphique de la fonction f(x). Si l'on considère l'aire sous le graphique comme une fonction du limite supérieur d'intégration, sa dérivée en un point est égale à la valeur de la fonction f(x) en ce point.