¿Cómo está relacionada la derivada con el área?

La derivada de una función en un punto muestra la velocidad de cambio de la función en ese punto. La relación con el área se manifiesta a través de la integral: si se representa el gráfico de la función y = f(x), el área bajo el gráfico en el intervalo [a, b] es igual a la integral ( \int_a^b f(x) dx ).

El teorema de Newton-Leibniz relaciona la derivada y el área: si F(x) es una antiderivada de la función f(x), entonces

[ F'(x) = f(x) ]

y

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Es decir, la derivada de la función es la velocidad instantánea de cambio del área bajo el gráfico de la función f(x). Si se representa el área bajo el gráfico como una función del límite superior de integración, entonces su derivada en un punto es igual al valor de la función f(x) en ese punto.