¿Cuál es la diferencia entre los métodos private y protected?

Los miembros private de una clase solo son accesibles desde dentro de la misma clase.

Los miembros protected de una clase son accesibles desde dentro de la misma clase y desde las clases derivadas.

public class BaseClass
{
    private int _privateField; // Solo accesible en BaseClass
    protected int _protectedField; // Accesible en BaseClass y DerivedClass

    public void BaseMethod()
    {
        _privateField = 1; // OK
        _protectedField = 2; // OK
    }
}

public class DerivedClass : BaseClass
{
    public void DerivedMethod()
    {
        // _privateField = 3; // Error de compilación: no accesible
        _protectedField = 4; // OK
    }
}