Εργασία: υπάρχουν 100 νομίσματα, ένα από αυτά είναι ανέντιμο (και οι δύο πλευρές έχουν αετό). Όταν ρίχνετε το νόμισμα και πέφτει αετός, ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα να είναι ανέντιμο;

Ας ορίσουμε:

• Συνολικός αριθμός νομισμάτων: 100
• Ψεύτικο νόμισμα: 1 (και οι δύο πλευρές είναι κεφάλι)
• Ήμερα νομίσματα: 99

Κατά την ρίψη, εμφανίστηκε κεφάλι. Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα το νόμισμα να είναι ψεύτικο.

Ορίζουμε τα γεγονότα:

• H — ψεύτικο νόμισμα
• F — ήμερο νόμισμα
• E — εμφανίστηκε κεφάλι

Από την προϋπόθεση:

• P(H) = 1/100
• P(F) = 99/100

Η πιθανότητα να εμφανιστεί κεφάλι κατά την ρίψη:

• P(E|H) = 1 (το ψεύτικο νόμισμα πάντα δείχνει κεφάλι)
• P(E|F) = 0.5 (το ήμερο νόμισμα δείχνει κεφάλι με πιθανότητα 0.5)

Σύμφωνα με τον τύπο του Bayes:

[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|F) \cdot P(F)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + 0.5 \cdot \frac{99}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{100} + \frac{49.5}{100}} = \frac{1}{1 + 49.5} = \frac{1}{50.5} \approx 0.0198 ]

Απάντηση: Η πιθανότητα το νόμισμα να είναι ψεύτικο, δεδομένου ότι εμφανίστηκε κεφάλι, είναι περίπου 1.98%.