Πώς σχετίζεται η παράγωγος με την επιφάνεια;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο δείχνει την ταχύτητα μεταβολής της συνάρτησης σε αυτό το σημείο. Η σχέση με το εμβαδόν εμφανίζεται μέσω του ολοκληρώματος: αν αναπαραστήσουμε το γράφημα της συνάρτησης y = f(x), το εμβαδόν κάτω από το γράφημα στην περιοχή [a, b] είναι ίσο με το ολοκλήρωμα ( \int_a^b f(x) dx ).

Ο θεώρημα του Newton-Leibniz συνδέει την παράγωγο και το εμβαδόν: αν F(x) είναι μια πρωτογενής της συνάρτησης f(x), τότε

[ F'(x) = f(x) ]

και

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Με άλλα λόγια, η παράγωγος της συνάρτησης είναι η στιγμιαία ταχύτητα μεταβολής του εμβαδού κάτω από το γράφημα της συνάρτησης f(x). Αν αναπαραστήσουμε το εμβαδόν κάτω από το γράφημα ως μια συνάρτηση του ανώτερου ορίου ολοκλήρωσης, τότε η παράγωγός του σε ένα σημείο είναι ίση με την τιμή της συνάρτησης f(x) σε αυτό το σημείο.