Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung bei einem positiven Testergebnis unter Berücksichtigung von Sensitivität und Spezifität?

Um die Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung bei einem positiven Testergebnis zu berechnen, wird die Bayes-Formel verwendet. Sie berücksichtigt die Sensitivität (Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests bei Vorliegen der Krankheit), die Spezifität (Wahrscheinlichkeit eines negativen Tests bei Abwesenheit der Krankheit) und die a priori Wahrscheinlichkeit der Erkrankung (Prävalenz).

Bezeichnungen:

• P(D) — Wahrscheinlichkeit der Erkrankung (Prävalenz)
• P(¬D) — Wahrscheinlichkeit, die Krankheit nicht zu haben = 1 - P(D)
• Sensitivität = P(Т+|D) — Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests bei Krankheit
• Spezifität = P(Т-|¬D) — Wahrscheinlichkeit eines negativen Tests bei Abwesenheit der Krankheit

Dann wird die Wahrscheinlichkeit der Erkrankung bei positivem Testergebnis (positiver Vorhersagewert) wie folgt berechnet:

[ P(D|T+) = \frac{P(T+|D) \times P(D)}{P(T+|D) \times P(D) + P(T+|¬D) \times P(¬D)} ]

Dabei gilt:

• P(T+|¬D) = 1 - Spezifität — Wahrscheinlichkeit eines falsch-positiven Ergebnisses

Beispiel:

Wenn:

• Prävalenz P(D) = 0.01 (1%)
• Sensitivität = 0.9
• Spezifität = 0.95

Dann:

[ P(D|T+) = \frac{0.9 \times 0.01}{0.9 \times 0.01 + (1 - 0.95) \times 0.99} = \frac{0.009}{0.009 + 0.0495} \approx 0.153 ]

Das bedeutet, bei einem positiven Testergebnis liegt die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich krank ist, bei etwa 15,3%.