Jak určit derivaci funkce ztráty pro logloss a MSE?

U funkcích ztráty v strojovém učení je často nutné vypočítat derivaci (gradient) pro optimalizaci modelu.

1. MSE (Střední čtvercová chyba) — střední čtvercová chyba:

Funkce ztráty:

[ L = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 ]

Derivace vzhledem k předpovědi ( \hat{y}_i ):

[ \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_i} = -\frac{2}{n} (y_i - \hat{y}_i) ]

2. LogLoss (logaritmická funkce ztráty) — používaná v úlohách klasifikace (například logistická regrese):

Pro binární klasifikaci:

[ L = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left[ y_i \log(\hat{y}_i) + (1 - y_i) \log(1 - \hat{y}_i) \right] ]

kde ( y_i \in {0,1} ), ( \hat{y}_i ) je předpovězená pravděpodobnost třídy 1.

Derivace vzhledem k ( \hat{y}_i ):

[ \frac{\partial L}{\partial \hat{y}_i} = -\frac{1}{n} \left( \frac{y_i}{\hat{y}_i} - \frac{1 - y_i}{1 - \hat{y}_i} \right) ]

V kontextu logistické regrese, pokud ( \hat{y}_i = \sigma(z_i) ) (sigmoid), pak derivace vzhledem k vstupu ( z_i ) bude:

[ \frac{\partial L}{\partial z_i} = \hat{y}_i - y_i ]

To zjednodušuje výpočty během tréninku.

Proto je pro optimalizaci modelu nutné tyto derivace používat k aktualizaci parametrů pomocí gradientních metod.