Могут ли возникнуть исключения, которые не проверяются явно, в ходе выполнения программы?

Да, в Java существуют непроверяемые (unchecked) исключения, которые не требуют явного объявления или обработки в коде. Это, например, RuntimeException и её подклассы (NullPointerException, IllegalArgumentException и др.). Такие исключения могут возникнуть во время выполнения программы и не обязательно должны быть обёрнуты в try-catch или объявлены в throws.

Проверяемые (checked) исключения, напротив, требуют либо обработки, либо объявления в сигнатуре метода.

Пример непроверяемого исключения:

public void divide(int a, int b) {
    int result = a / b; // может вызвать ArithmeticException при делении на ноль
}

Здесь ArithmeticException — непроверяемое исключение, и компилятор не заставит обрабатывать его явно.