Существует ли конструктор у статического класса?

Нет, у статического класса (класса, объявленного как static внутри другого класса) не существует конструктора. Статический класс является элементом объемлющего класса и не может быть инстанциирован самостоятельно. Он используется для группировки статических членов (полей и методов).