Kosinus, nuqtalar ko'paytmasi va Evklid masofa — qanday qilib normalization ta'sir qiladi?

Nuqta ko‘rinishi (skalyar ko‘rinishi) — bu ikki vektorning mos keladigan komponentlarining ko‘paytmalari yig‘indisidir. U vektorlarning uzunligini hisobga olgan holda o‘xshashlik o‘lchovini aks ettiradi:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i ]

Kosinus o‘xshashligi (kosinus o‘xshashligi) — bu normallashtirilgan nuqta ko‘rinishi, vektorlarning normalarining (uzunliklarining) ko‘paytmasiga bo‘lingan. U vektorlar orasidagi burchakni o‘lchaydi, ularning uzunligini e’tiborga olmay:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Euklid masofa (euklid masofa) — bu ikki nuqta (vektorlar) orasidagi masofa o‘lchovi:

[ d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{\sum_i (a_i - b_i)^2} ]

Normallashtirish ta’siri:

• Vektorlarni birlik uzunlikka (( |\mathbf{a}| = 1 )) normallashtirsangiz, nuqta ko‘rinishi kosinus o‘xshashligiga aylanadi.
• Kosinus o‘xshashligi vektorlarning o‘lchoviga chidamli, chunki u faqat ular orasidagi burchakni hisobga oladi.
• Euklid masofa vektorlarning uzunligiga sezgir, shuning uchun normallashtirish taqqoslash natijalarini o‘zgartirishi mumkin.

Vektorlar taqdimotlarini qidirish va taqqoslash vazifalarida (masalan, vektor bazalarida) ko‘pincha kosinus o‘xshashligi semantik yaqinlikni baholash uchun ishlatiladi, chunki u uzunlikni e’tiborga olmaydi va vektorlarning yo‘nalishiga e’tibor qaratadi.