Türev alanla nasıl ilişkilidir?

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun bu noktadaki değişim hızını gösterir. Alanla ilişkisi, integral aracılığıyla ortaya çıkar: y = f(x) fonksiyonunun grafiğini temsil edersek, [a, b] aralığındaki grafiğin altındaki alan, ( \int_a^b f(x) dx ) integraliyle aynıdır.

Newton-Leibniz teoremi, türev ve alanı ilişkilendirir: F(x) fonksiyonunun f(x) fonksiyonunun bir antitürevi olduğunu varsayarsak,

[ F'(x) = f(x) ]

ve

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Yani, fonksiyonun türevi, fonksiyonun grafiği altındaki alanın anlık değişim hızıdır. Alanı, üst sınırın bir fonksiyonu olarak düşünürsek, bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyon f(x) değerine eşittir.