É possível declarar métodos privados dentro de classes abstratas?

Sim, no PHP é possível declarar métodos privados dentro de classes abstratas. Uma classe abstrata pode conter tanto métodos abstratos (sem implementação) quanto métodos concretos com implementação, incluindo privados. Os métodos privados só estão acessíveis dentro da própria classe e não são visíveis para as classes que herdam dela, o que permite encapsular lógica auxiliar.

abstract class Base {
    abstract protected function doSomething();

    private function helper() {
        echo "Método auxiliar";
    }

    public function run() {
        $this->helper();
        $this->doSomething();
    }
}