O que é cosseno vs produto escalar vs euclidiano — como a normalização afeta?

Produto escalar (produto escalar) — é a soma dos produtos das componentes correspondentes de dois vetores. Reflete a medida de semelhança considerando o comprimento dos vetores:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i ]

Similaridade do cosseno (similaridade do cosseno) — é o produto escalar normalizado, dividido pelo produto das normas (comprimentos) dos vetores. Mede o ângulo entre os vetores, ignorando o seu comprimento:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Distância Euclidiana (distância Euclidiana) — é uma medida de distância entre dois pontos (vetores) no espaço:

[ d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{\sum_i (a_i - b_i)^2} ]

Influência da normalização:

• Ao normalizar vetores para comprimento unitário (( |\mathbf{a}| = 1 )), o produto escalar torna-se a similaridade do cosseno.
• A similaridade do cosseno é resistente à escala dos vetores, pois considera apenas o ângulo entre eles.
• A distância Euclidiana é sensível ao comprimento dos vetores, portanto a normalização pode alterar os resultados da comparação.

Em tarefas de busca e comparação de representações vetoriais (por exemplo, em bases de dados vetoriais), muitas vezes usa-se a similaridade do cosseno para avaliar a proximidade semântica, pois ela ignora o comprimento e foca na direção dos vetores.