É possível fazer commit de uma transação se a primeira tabela registrou os dados com sucesso, mas ocorreu um erro na segunda?

Нет, выполнить коммит транзакции нельзя, если вторая таблица вызвала ошибку после успешной фиксации данных в первой. Транзакция — это атомарная операция, которая либо полностью выполняется, либо полностью откатывается.

Если в рамках одной транзакции произошла ошибка при работе со второй таблицей, то вся транзакция должна быть отменена (rollback), чтобы сохранить целостность данных. Иначе данные будут в неконсистентном состоянии.

Пример на Java с использованием JDBC:

try {
    connection.setAutoCommit(false);
    // Вставка в первую таблицу
    // ...
    // Вставка во вторую таблицу
    // ...
    connection.commit();
} catch (SQLException e) {
    connection.rollback(); // откат всех изменений
}