Zadanie: jest 100 monet, z nich jedna jest oszukańcza (obie strony to orzeł). Przy rzucie wypadł orzeł — znajdź prawdopodobieństwo, że moneta była oszukańcza.

Zdefiniujmy:

• Razem monet: 100
• Nieuczciwa moneta: 1 (obie strony to orzeł)
• Uczciwe monety: 99

Przy rzucie wypadł orzeł. Należy znaleźć prawdopodobieństwo, że moneta jest nieuczciwa.

Zdefiniujmy zdarzenia:

• H — moneta nieuczciwa
• F — moneta uczciwa
• E — wypadł orzeł

Z warunku:

• P(H) = 1/100
• P(F) = 99/100

Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła przy rzucie:

• P(E|H) = 1 (nieuczciwa moneta zawsze daje orła)
• P(E|F) = 0.5 (uczciwa moneta daje orła z prawdopodobieństwem 0.5)

Według wzoru Bayesa:

[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|F) \cdot P(F)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + 0.5 \cdot \frac{99}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{100} + \frac{49.5}{100}} = \frac{1}{1 + 49.5} = \frac{1}{50.5} \approx 0.0198 ]

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że moneta jest nieuczciwa przy wypadnięciu orła, wynosi około 1.98%.