Jak pochodna jest związana z polem?

Pochodna funkcji w punkcie wskazuje szybkość zmiany funkcji w tym punkcie. Związek z polem powierzchni ujawnia się przez całkę: jeśli przedstawimy wykres funkcji y = f(x), to pole pod wykresem na przedziale [a, b] jest równe całce ( \int_a^b f(x) dx ).

Twierdzenie Newtona-Leibniza łączy pochodną i pole powierzchni: jeśli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), to

[ F'(x) = f(x) ]

oraz

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Oznacza to, że pochodna funkcji jest chwilową szybkością zmiany pola powierzchni pod wykresem funkcji f(x). Jeśli pole pod wykresem przedstawimy jako funkcję od górnego ograniczenia całkowania, to jej pochodna w punkcie jest równa wartości funkcji f(x) w tym punkcie.