როგორ არის განტოლება დაკავშირებული ფართობისთან?

ფუნქციის დერივატმა ერთ წერტილში აჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს ამ წერტილში. ფართობისთან დაკავშირება გამოხატულია ინტეგრალით: თუ განვიხილავთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკს, გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობი ინტერვალზე [a, b] თანაბარია ინტეგრალთან ( \int_a^b f(x) dx ).

ნიუტონი-ლეიბნიცის თეორემა დაკავშირებს დერივატსა და ფართობს: თუ F(x) არის ფუნქციის f(x) პირველი ანტიდერივატივი, მაშინ

[ F'(x) = f(x) ]

და

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

მეორე სიტყვებით, ფუნქციის დერივატია მომენტალური სიჩქარე ცვლილების ფართობის ქვემოთ. თუ ფართობი ქვედა და ზედა საზღვრების ფუნქციად მივიჩნიოთ, მისი დერივატი ერთ წერტილში თანაბარია ამ წერტილში ფუნქციის f(x) მნიშვნელობასთან.