Feladat: 100 érme van, közülük egy tisztességtelen (mindkét oldalán sas). Ha feldobjuk az érmét és sas jön ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy az érme tisztességtelen?

Határozzuk meg:

• Összes érme: 100
• Csaló érme: 1 (mindkét oldalán fej)
• Őszinte érmek: 99

A dobás során fej jött ki. Meg kell találni annak a valószínűségét, hogy az érme csaló.

Határozzuk meg az eseményeket:

• H — csaló érme
• F — őszinte érme
• E — fej jött ki

A feltételből:

• P(H) = 1/100
• P(F) = 99/100

A fej dobásának valószínűsége:

• P(E|H) = 1 (a csaló érme mindig fejjel jön ki)
• P(E|F) = 0.5 (az őszinte érme 0.5 valószínűséggel jön ki fejjel)

Bayes képlete szerint:

[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|F) \cdot P(F)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + 0.5 \cdot \frac{99}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{100} + \frac{49.5}{100}} = \frac{1}{1 + 49.5} = \frac{1}{50.5} \approx 0.0198 ]

Válasz: Az esély arra, hogy az érme csaló, ha fej jött ki, körülbelül 1.98%.