Hogyan kapcsolódik a derivált a területhez?

Egy függvény deriváltja egy pontban megmutatja a függvény változási sebességét ebben a pontban. A területtel való kapcsolat az integrálon keresztül nyilvánul meg: ha az y = f(x) függvény grafikonját ábrázoljuk, akkor a grafikon alatti terület az [a, b] intervallumon megegyezik a ( \int_a^b f(x) dx ) integrállal.

A Newton-Leibniz tétel összekapcsolja a deriváltat és a területet: ha F(x) az f(x) függvény primitívje, akkor

[ F'(x) = f(x) ]

és

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Más szóval, a függvény deriváltja a függvény grafikonja alatti terület pillanatnyi változási sebessége. Ha a területet a felső határ függvényeként ábrázoljuk, akkor annak deriváltja egy pontban megegyezik az f(x) függvény értékével ebben a pontban.