Formulez la tâche d'Estimation du Maximum de Vraisemblance et écrivez la formule.

L'estimation du maximum de vraisemblance (MLE) consiste à rechercher les paramètres du modèle qui rendent les données observées les plus probables. Formellement, pour un ensemble de données ( X = {x_1, x_2, ..., x_n} ) et des paramètres du modèle ( \theta ), la MLE cherche ( \hat{\theta} ), qui maximise la fonction de vraisemblance:

[ \hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta | X) = \arg\max_{\theta} \prod_{i=1}^n p(x_i | \theta) ]

Il est souvent plus pratique de travailler avec le logarithme de la fonction de vraisemblance:

[ \hat{\theta} = \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^n \log p(x_i | \theta) ]