¿Se puede realizar un commit de la transacción si la primera tabla ha registrado con éxito los datos, pero en la segunda se produjo un error?

Нет, выполнить коммит транзакции нельзя, если вторая таблица вызвала ошибку после успешной фиксации данных в первой. Транзакция — это атомарная операция, которая либо полностью выполняется, либо полностью откатывается.

Если в рамках одной транзакции произошла ошибка при работе со второй таблицей, то вся транзакция должна быть отменена (rollback), чтобы сохранить целостность данных. Иначе данные будут в неконсистентном состоянии.

Пример на Java с использованием JDBC:

try {
    connection.setAutoCommit(false);
    // Вставка в первую таблицу
    // ...
    // Вставка во вторую таблицу
    // ...
    connection.commit();
} catch (SQLException e) {
    connection.rollback(); // откат всех изменений
}