Πώς υπολογίζεται η αναλυτική λύση για την γραμμική παλινδρόμηση;

Η αναλυτική λύση του προβλήματος γραμμικής παλινδρόμησης που βασίζεται στην αλγεβραία μήτρας στηρίζεται στον τύπο της κανονικής εξίσωσης:

[ \theta = (X^T X)^{-1} X^T y ]

όπου:

• (X) είναι η μήτρα χαρακτηριστικών (με μια επιπλέον στήλη από μονάδες για το σταθερό όρο), διαστάσεων (m \times n), όπου (m) είναι ο αριθμός των αντικειμένων και (n) ο αριθμός των χαρακτηριστικών + 1.
• (y) είναι ο διανυσματικός στόχος, διαστάσεων (m \times 1).
• (\theta) είναι ο διανυσματικός παράμετρος του μοντέλου, διαστάσεων (n \times 1).

Διαδικασία:

1. Δημιουργήστε τη μήτρα χαρακτηριστικών (X) και το διάνυσμα απαντήσεων (y).
2. Υπολογίστε (X^T X) και (X^T y).
3. Βρείτε τη αντίστροφη μήτρα ((X^T X)^{-1}).
4. Πολλαπλασιάστε ((X^T X)^{-1}) με (X^T y) για να λάβετε (\theta).

Αυτή η λύση ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων και παρέχει τις βέλτιστες παραμέτρους για ένα γραμμικό μοντέλο χωρίς τη χρήση επαναληπτικών μεθόδων.