Τι είναι το διαβάθμιση από μαθηματική άποψη;

Ο βαθμωτής είναι ένα διάνυσμα που αποτελείται από τις μερικές παραγώγους μιας συνάρτησης ως προς όλες τις μεταβλητές της. Μαθηματικά, αν υπάρχει μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών (f(x_1, x_2, ..., x_n)), τότε ο βαθμωτής (\nabla f) είναι ένα διάνυσμα:

[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) ]

Ο βαθμωτής δείχνει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης της συνάρτησης και το μήκος του δείχνει την ταχύτητα μεταβολής της συνάρτησης σε αυτήν την κατεύθυνση.

Στην μηχανική μάθηση, ο βαθμωτής χρησιμοποιείται για βελτιστοποίηση — για παράδειγμα, στην κατιούσα του βαθμωτή, όπου κινούμαστε στην αντίθετη κατεύθυνση από τον βαθμωτή για να ελαχιστοποιήσουμε τη συνάρτηση απώλειας.

Παράδειγμα: για τη συνάρτηση (f(x, y) = x^2 + y^2), ο βαθμωτής θα είναι (\nabla f = (2x, 2y)). Στο σημείο (1,1), ο βαθμωτής είναι (2,2), δείχνοντας την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης της συνάρτησης.