Задача: има 100 монети, една от тях е нечестна (и двете страни са орел). При подхвърляне и излизане орел — каква е вероятността монетата да е нечестна?

Да дефинираме:

• Общо монети: 100
• Нечестна монета: 1 (и двете страни са глава)
• Честни монети: 99

При хвърляне, излезе глава. Трябва да намерим вероятността монетата да е нечестна.

Дефинираме събитията:

• H — нечестна монета
• F — честна монета
• E — излезе глава

От условието:

• P(H) = 1/100
• P(F) = 99/100

Вероятността да излезе глава при хвърляне:

• P(E|H) = 1 (нечестната монета винаги дава глава)
• P(E|F) = 0.5 (честната монета дава глава с вероятност 0.5)

Според формулата на Байес:

[ P(H|E) = \frac{P(E|H) \cdot P(H)}{P(E|H) \cdot P(H) + P(E|F) \cdot P(F)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{100}}{1 \cdot \frac{1}{100} + 0.5 \cdot \frac{99}{100}} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{1}{100} + \frac{49.5}{100}} = \frac{1}{1 + 49.5} = \frac{1}{50.5} \approx 0.0198 ]

Отговор: Вероятността монетата да е нечестна, при изход на глава, е около 1.98%.