Как производната е свързана с площта?

Производната на функция в точка показва скоростта на изменение на функцията в тази точка. Връзката с площта се проявява чрез интеграла: ако представим графика на функцията y = f(x), площта под графика на интервала [a, b] е равна на интеграла ( \int_a^b f(x) dx ).

Теоремата на Нютон-Лейбниц свързва производната и площта: ако F(x) е първообразна на функцията f(x), тогава

[ F'(x) = f(x) ]

и

[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]

Тоест, производната на функцията е моментната скорост на изменение на площта под графика на функцията f(x). Ако представим площта под графика като функция на горната граница на интегриране, то нейната производна в точка е равна на стойността на функцията f(x) в тази точка.