Можешь привести похожий пример с другим типом, где == даст false?

В Java оператор == для объектов сравнивает ссылки, а не содержимое. Пример с другим типом, где == даст false, даже если объекты логически равны:

Integer a = new Integer(1000);
Integer b = new Integer(1000);
System.out.println(a == b); // false, разные объекты
System.out.println(a.equals(b)); // true, значения равны

Здесь два объекта Integer с одинаковым значением, но == сравнивает ссылки, поэтому результат false. Аналогично будет с любыми объектами, если не переопределён equals или не сравнивать примитивы.