Mi a különbség a koszinusz, a skalárszorzat és az euklideszi távolság között — hogyan befolyásolja a normalizálás?

Dot termék (skáláris szorzat) — ez két vektor megfelelő komponenseinek szorzatainak összege. A vektorok hosszát figyelembe véve tükrözi a hasonlóság mértékét:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i ]

Koszinuszi hasonlóság (koszinuszi hasonlóság) — ez a normalizált skaláris szorzat, amit a vektorok normáinak (hosszainak) szorzatára osztunk. Megméri a szöget a vektorok között, figyelmen kívül hagyva azok hosszát:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Euklideszi távolság (euklideszi távolság) — ez két pont (vektor) közötti távolság mértéke a térben:

[ d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{\sum_i (a_i - b_i)^2} ]

Normalizálás hatása:

• Ha a vektorokat egység hosszúságúra normalizáljuk (( |\mathbf{a}| = 1 )), akkor a skaláris szorzat a koszinuszi hasonlóságnak felel meg.
• A koszinuszi hasonlóság ellenáll a vektorok skálázásának, mivel csak a szöget veszi figyelembe.
• Az euklideszi távolság érzékeny a vektorok hosszára, így a normalizálás megváltoztathatja az összehasonlítás eredményét.

A vektoros reprezentációk keresési és összehasonlítási feladataiban (például vektorbázisokban) gyakran használják a koszinuszi hasonlóságot a szemantikus közelség értékelésére, mivel figyelmen kívül hagyja a hosszúságot, és a vektorok irányára összpontosít.