Какво е косинус спрямо скаларното произведение и евклидовото разстояние — как влияе нормализацията?

Скалярно произведение (скаларно произведение) — това е сумата от произведенията на съответните компоненти на два вектора. То отразява степента на сходство, като взема предвид дължината на векторите:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i ]

Косинусна подобност (косинусна подобност) — това е нормализираното скаларно произведение, разделено на произведението на нормите (дължините) на векторите. То измерва ъгъла между векторите, игнорирайки тяхната дължина:

[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]

Евклидова разстояние (евклидова разстояние) — това е мярка за разстоянието между две точки (вектори) в пространството:

[ d(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \sqrt{\sum_i (a_i - b_i)^2} ]

Влияние на нормализацията:

• При нормализиране на векторите до единична дължина (( |\mathbf{a}| = 1 )), скаларното произведение става равно на косинусната подобност.
• Косинусната подобност е устойчива на мащабиране на векторите, тъй като взема предвид само ъгъла между тях.
• Евклидовата разстояние е чувствителна към дължината на векторите, затова нормализацията може да промени резултатите от сравняването.

В задачите за търсене и сравняване на векторни представяния (например, в бази данни с вектори) често се използва косинусна подобност за оценка на семантичната близост, тъй като тя игнорира дължината и се фокусира върху посоката на векторите.